Induccion matematica

Lección 0. Introducción: números enteros e inducción matemática

Nuestro principal objeto de estudio son los números naturales, que son los números más sencillos (los que se usan para contar) y que denotaremos por

N={1,2,3,4,5,6,7,8,…}$$N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,\dots \}$$

Así, N$\mathbb{N}$ es un conjunto en el que se puede sumar y multiplicar, es decir, si sumamos o multiplicamos dos números naturales obtenemos otro número natural. El problema surge cuando queremos restar números naturales: por ejemplo 5−3$5-3$ es el número natural 2$2$pero 3−5$3-5$ no puede ser ningún número natural. Se crea de esta forma la necesidad de ampliar nuestro conjunto de números a los enteros Z$\mathbb{Z}$, ampliación que consiste en añadir los opuestos de los naturales junto con el cero. Esto lo escribimos como

Z={…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…}.$$Z=\{\dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}.$$

Aquí no termina la cosa pues, si bien ahora podemos sumar, restar y multiplicar números enteros y el resultado sigue siendo un número entero, no podemos dividir dos números enteros cualesquiera; por ejemplo 21:7=3$21:7=3$ ó (−48):8=6$(-48):8=6$ son números enteros pero 1:2$1:2$ no puede ser ningún número entero. Este impedimento vuelve a arreglarse considerando los números racionales o fraccionarios Q$\mathbb{Q}$, que son los números de la forma ab$\frac{a}{b}$, donde a$a$ y b$b$ son números enteros, que se llaman numerador y denominador de la fracción ab$\frac{a}{b}$ respectivamente. No obstante, no es posible que el denominador sea cero (no se puede dividir por cero), lo que nos lleva a excluirlo como denominador. Con mayor rigor matemático, esto se resume en la siguiente definición

Q={ab:a,b∈Z,b≠0}$$Q=\left\{\frac{a}{b}:a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0\right\}$$

(se lee: Q$\mathbb{Q}$ es el conjunto de los números de la forma ab$\frac{a}{b}$, donde a$a$ y b$b$ son números enteros y b$b$ es distinto de cero). Observemos que N⊂Z⊂Q$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$, es decir, los números naturales están contenidos en los números enteros que, a su vez, están contenidos en los números racionales. Es posible completar este esquema con conjuntos más grandes de números, como los números reales R$\mathbb{R}$ ó los números complejos C$\mathbb{C}$, pero el objetivo de esta sección se centra en N$\mathbb{N}$, Z$\mathbb{Z}$ y Q$\mathbb{Q}$; concretamente en N$\mathbb{N}$, de donde pueden obtenerse los demás mediante las cuatro operaciones básicas.