demostracion de desigualdades

Desigualdad de los cuadradosSean a1,a2,…,an$a_1,a_2,\dots ,a_n$ números reales. Entonces,

a21+a22+…+a2n≥0$$a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2\ge 0$$

y la igualdad se alcanza si, y sólo si, a1=a2=…=an=0$a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Veamos algunos casos resueltos donde se muestra la utilidad de este método.

Ejercicio resueltoDemostrar que x2−6x+10≥1$x^2-6x+10\ge 1$ para cualquier x∈R$x\in \mathbb{R}$.

Solución. Completando cudrados, podemos expresar x2−6x+10=(x−3)2+1$x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1$. Como (x−3)2≥0$(x-3{)}^2\ge 0$, se tiene que x2−6x+10=(x−3)2+1≥1$x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1\ge 1$, que es lo que queríamos demostrar.

Ejercicio resueltoDemostrar que 12(x+y)≥xy−−√$\frac{1}{2}(x+y)\ge \sqrt{xy}$ para cualesquiera x,y≥0$x,y\ge 0$.

Solución. Por un lado, tenemos que (x−−√−y√)2≥0$(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2\ge 0$ luego, desarrollando el cuadrado, nos queda x+y−2xy−−√≥0$x+y-2\sqrt{xy}\ge 0$. Pasando la raíz al miembro de la derecha y dividiendo por 2$2$, tenemos la desigualdad buscada.

Ejercicio resueltoDemostrar que x2+y2+z2≥xy+yz+xz$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$ para cualesquiera x,y,z∈R$x,y,z\in \mathbb{R}$.

Solución. Partiendo de la desigualdad (x−y)2+(x−z)2+(y−z)2≥0$(x-y{)}^2+(x-z{)}^2+(y-z{)}^2\ge 0$ y desarrollando los cuadrados, tenemos que

x2−2xy+y2+x2−2xz+z2+y2−2yz+z2≥0.$$x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2\ge 0.$$

Agrupando términos y simplificando, llegamos a la desigualdad buscada.

Ejercicio resueltoDemostrar que la suma de un número real positivo con su inverso siempre es mayor o igual que dos, es decir, x+1x≥2$x+\frac{1}{x}\ge 2$ para cualquier x>0$x>0$.

Solución. Haciendo operaciones, la desigualdad x+1x≥2$x+\frac{1}{x}\ge 2$ es equivalente a x2+1≥2x$x^2+1\ge 2x$ (observemos que, al ser x>0$x>0$, podemos pasarlo multiplicando al miembro de la derecha sin cambiar el signo de la desigualdad) y esta es equivalente a (x−1)2≥0$(x-1{)}^2\ge 0$, que sabemos que es cierta.

En muchas ocasiones, es útil saber cuándo la desigualdad con la que estamos trabajando o queremos demostrar es realmente una igualdad. Por ejemplo, siempre se cumple que (x−1)2≥0$(x-1{)}^2\ge 0$ pero el único valor de x$x$ para el que (x−1)2=0$(x-1{)}^2=0$ es x=1$x=1$ y, para cualquier otro x≠1$x\ne 1$, se tiene que (x−1)2>0$(x-1{)}^2>0$.

Como ya hemos dicho antes, la suma de los cuadrados de una serie de números es mayor o igual que cero. Ahora añadimos que dicha suma es igual a cero si, y sólo si, todos los números son cero. Esto permite analizar en los problemas anteriores cuándo se tiene una igualdad: en el primero cuando x=3$x=3$ ya que la única desigualdad que hemos usado es que (x−3)2≥0$(x-3{)}^2\ge 0$; en el segundo, la igualdad se tiene cuando x−−√−y√=0$\sqrt{x}-\sqrt{y}=0$, es decir, cuando x=y$x=y$. En la tercera, la igualdad se tiene cuando x−y=0$x-y=0$, y−z=0$y-z=0$ y x−z=0$x-z=0$, es decir, cuando x=y=z$x=y=z$. Finalmente, en el último ejemplo la igualdad se tiene cuando x=1$x=1$ ya que hemos usado que (x−1)2≥0$(x-1{)}^2\ge 0$.

Ejercicio resueltoDemostrar que x4+2x2y2−x2+2x+y4−2y2+2≥0$x^4+2x^2{y}^2-x^2+2x+y^4-2y^2+2\ge 0$ para cualesquiera x,y∈R$x,y\in \mathbb{R}$ y determinar para qué valores de x$x$ e y$y$ se alcanza la igualdad.

Solución. Si nos fijamos en los términos en los que aparece la variable y$y$, no es difícil ver que podemos completar cuadrados para escribir la expresión del miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado como (y2+x2−1)2+(x+1)2$(y^2+x^2-1{)}^2+(x+1{)}^2$ (darse cuenta de esto requiere cierto entrenamiento pero la pista la da el hecho de que los términos en los que aparece y$y$ tienen grado 2$2$ y 4$4$). Ahora es obvia la desigualdad el enunciado pues es suma de dos expresiones al cuadrado. Si ahora se da la igualdad para ciertos x,y∈R$x,y\in \mathbb{R}$, estos tienen que cumplir que x2+y2−1=0$x^2+y^2-1=0$ y x+1=0$x+1=0$, luego los únicos posibles valores de x,y∈R$x,y\in \mathbb{R}$ para los que se da la igualdad son (x,y)=(−1,0)$(x,y)=(-1,0)$. Si sustituimos estos valores en la desigualdad inicial, comprobamos que ciertamente estos son los únicos números que la cumplen.

Finalmente, observemos que si tenemos que usar varias desigualdades consecutivas para probar otra, la igualdad en esta última se tendrá cuando tengamos igualdad en todas las que hemos usado. Por ejemplo, si tenemos que a≤b≤c≤d$a\le b\le c\le d$, cuando se cumpla a=d$a=d$, tendremos que a=b=c=d$a=b=c=d$. Veamos un ejemplo muy detallado de esta situación.

Ejercicio resueltoDados a,b,c∈R$a,b,c\in \mathbb{R}$ positivos, demostrar que

a+bc+a+cb+b+ca≥6$$\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\ge 6$$

y analizar en qué casos se obtiene una igualdad.

Solución. El truco está en darse cuenta de que el miembro de la izquierda se puede escribir como

(ab+ba)+(bc+cb)+(ca+ac).$$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right).$$

En esta expresión, cada paréntesis es igual a la suma de un número más su inverso luego, por un ejercicio resuelto anteriormente, es mayor o igual que 2$2$. La suma de los tres es mayor o igual que 6$6$, como se quiere demostrar. Ahora bien, si se da la igualdad, cada uno de los paréntesis tiene que ser igual a 2$2$ y, por tanto, ab=bc=ca=1$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$, de donde deducimos que a=b=c$a=b=c$. En otras palabras, la igualdad se tiene cuando los tres números son iguales.