ecuaciones funcionales

Problema 1

Una función f$f$ está definida sobre los enteros positivos mediante

f(1)f(2n)f(4n+1)f(4n+3)====1,f(3)=3,f(n),2f(2n+1)−f(n),3f(2n+1)−2f(n).$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 1,f(3)=3,\\ f(2n)& =& f(n),\\ f(4n+1)& =& 2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)& =& 3f(2n+1)-2f(n).\end{array}$$

Determinar el número de enteros positivos n≤1988$n\le 1988$ tales que f(n)=n$f(n)=n$.

Problema 2

S

Encontrar todas las funciones f:N→N$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que

f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n$$f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n$$

para todo número natural n∈N$n\in \mathbb{N}$.

Problema 3

a

Hallar todas las funciones f:R→R$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que cumplen que

f(x)+f(11−x)=x$$f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x$$

para cualquier x∈R$x\in \mathbb{R}$ distinto de 0$0$ y de 1$1$.

Problema 4

n

Hallar todas las funciones f:(0,∞)→R$f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ que cumplen que existe λ>0$\lambda >0$ con f(λ)=1$f(\lambda )=1$ tal que

f(x)f(y)+f(λx)f(λy)=2f(xy),$$f(x)f(y)+f\left(\frac{\lambda }{x}\right)f\left(\frac{\lambda }{y}\right)=2f(xy),$$

para cualesquiera x,y∈R$x,y\in \mathbb{R}$.

Problema 5

a

La función g$g$ se define sobre los números naturales y cumple las siguientes tres condiciones:

• g(2)=1$g(2)=1$,
• g(2n)=g(n)$g(2n)=g(n)$,
• g(2n+1)=g(2n)+1$g(2n+1)=g(2n)+1$.

Hallar el valor máximo M$M$ de g(n)$g(n)$ para 1≤n≤2002$1\le n\le 2002$ y determinar cuántos valores de n$n$ en este rango cumplen que g(n)=M$g(n)=M$.