Desigualdades

Lección 0. Introducción: igualdades, desigualdades y cuadrados

Las desigualdades son una herramienta fundamental para trabajar con números reales. Podemos pensar que una fórmula con una igualdad es algo mucho mejor que una fórmula con una desigualdad y, obviamente, esto es cierto. Sin embargo, muchas veces no podemos tener una igualdad y la razón puede ser porque la igualdad no sea cierta, o bien porque sea suficiente conocer una desigualdad, o incluso porque demostrar la igualdad es más difícil que demostrar una desigualdad y podemos apañarnos sin ella.

Los símbolos fundamentales que vamos a manejar son los siguientes:

=<>≤≥igualmenor quemayor quemenor o igual quemayor o igual que$$\begin{array}{cl}=& \text{igual}\\ <& \text{menor que}\\ >& \text{mayor que}\\ \le & \text{menor o igual que}\\ \ge & \text{mayor o igual que}\end{array}$$

No necesitan explicación pero una interpretación interesante es que, cuando representamos dos números en la recta real, uno es menor que otro si está a la izquierda de éste. Veamos algunas propiedades muy sencillas, válidas para cualesquiera números a,b,c∈R$a,b,c\in \mathbb{R}$:

• Si a≤b$a\le b$ y b≤a$b\le a$, entonces a=b$a=b$
• Si a≤b$a\le b$ y b≤c$b\le c$, entonces a≤c$a\le c$.
• Si no se cumple que a≤b$a\le b$, entonces a>b$a>b$.

Dejamos como ejercicio pensar qué ocurre si cambiamos los signos en las propiedades anteriores por otros distintos.

Desigualdades y operaciones

Recordemos ahora cómo se comportan las desigualdades frente a la suma y el producto de números reales, así como respecto de los opuestos e inversos. Son propiedades que se usan continuamente cuando se trabaja con desigualdades por lo que conviene enumerarlas.

• Dados a,b,c,d∈R$a,b,c,d\in \mathbb{R}$ tales que a≤b$a\le b$ y c≤d$c\le d$, entonces se cumple que a+c≤b+d$a+c\le b+d$y la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$ y c=d$c=d$.
• Sean a,b∈R$a,b\in \mathbb{R}$ y λ∈R$\lambda \in \mathbb{R}$ tales que a≤b$a\le b$.
  • Si λ≥0$\lambda \ge 0$, entonces λa≤λb$\lambda a\le \lambda b$.
  • Si λ≤0$\lambda \le 0$, entonces λa≥λb$\lambda a\ge \lambda b$.
  En cualquiera de los dos casos, la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$ ó λ=0$\lambda =0$.
• Sean a,b∈R$a,b\in \mathbb{R}$ distintos de cero.
  • Si a≥b>0$a\ge b>0$, entonces 0<1a≤1b$0<\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$.
  • Si a≤b<0$a\le b<0$, entonces 1b≤1a<0$\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}<0$.
  • Si a<0<b$a<0<b$, entonces 1a<0<1b$\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}$.
  En cualquiera de los dos casos, la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$.

Por decirlo de otra forma: las sumas y los opuestos respetan las desigualdades mientras los productos y los inversos únicamente cuando los signos sean los adecuados. Algunos ejemplos que ilustran esta situación son los siguientes:

2<3 ⇒ 13<12,−5<−1⇒1<5⇒15<1,0≤x<y⇒0≤2x<2y$$2<3\Rightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{2},-5<-1\Rightarrow 1<5\Rightarrow \frac{1}{5}<1,0\le x<y\Rightarrow 0\le 2x<2y$$

Un caso especial de desigualdad es cuando el número cero está involucrado. Como todos sabemos, un número real a$a$ que cumple que a<0$a<0$ se dice que es negativo y, si cumple que a>0$a>0$, que es positivo. Pero el cero, ¿es positivo o negativo? Aquí diremos que el cero no es negativo ni positivo (ojo, esto es un convenio, un nombre). También se usarán las expresiones a$a$ es no negativo cuando queremos expresar que a≥0$a\ge 0$ y a$a$ es no positivo cuando a≤0$a\le 0$. Algunas propiedades son las siguientes:

• La suma de dos números positivo es positiva. La suma de dos números negativos es negativa. La suma de un número positivo y otro negativo puede ser positiva, negativa o cero.
• El producto de dos números positivos es positivo. El producto de dos números negativos es también positivo. El producto de un número positivo y otro negativo es negativo.
• El opuesto de un número intercambia positivos y negativos. El inverso de un número conserva positivos y negativos.

Desigualdades y cuadrados

Una consencuencia mucho más interesante y cuya utilidad puede despreciarse en un principio es que un número al cuadrado nunca es negativo.