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soluciones de las ecuaciones funcionales

problema 1
Solución. Las relaciones dadas en el enunciado determinan completamente f(n)$f(n)$. Al depender formalmente el valor de f(n)$f(n)$ del resto de dividir n$n$ entre 4$4$, esto nos pone sobre aviso de trabajar en otra base. Concretamente, trabajaremos en base 2$2$. En este punto del razonamiento, sería interesante hacer pruebas con números pequeños (por ejemplo, calcular desde f(1)$f(1)$ hasta f(20)$f(20)$ para tener una mínima intuición de cómo se comporta f$f$ y motivar lo que sigue). Vamos a probar que f$f$ toma un número en base 2$2$ e invierte el orden de sus cifras.

Antes de entrar en el detalle de la demostración, observemos que si n$n$ se escribe como ak⋯a1a0$a_k\cdots a_1{a}_0$ en base 2$2$, donde a0,…,ak$a_0,\dots ,a_k$ son sus dígitos, entonces tenemos que

2n2n+14n+14n+3====ak⋯a1a00ak⋯a1a01ak⋯a1a001ak⋯a1a011$$\begin{array}{rcl}2n& =& a_k\cdots a_1{a}_{0}0\\ 2n+1& =& a_k\cdots a_1{a}_{0}1\\ 4n+1& =& a_k\cdots a_1{a}_{0}01\\ 4n+3& =& a_k\cdots a_1{a}_{0}11\end{array}$$

Visto eso, procedamos por inducción completa sobre n$n$. Para n=1,2,3,4$n=1,2,3,4$ el resultado se comprueba fácilmente ya que, en base 2, f(1)=1$f(1)=1$, f(10)=f(1)=1$f(10)=f(1)=1$, f(11)=11$f(11)=11$ y f(100)=f(10)=f(1)=1$f(100)=f(10)=f(1)=1$. Supongamos entonces que f(j)$f(j)$ invierte las cifras de j$j$ en base 2$2$para 1≤j<n$1\le j<n$ y probémoslo para n$n$, distinguiendo casos:

• Si n$n$ es par, entonces n=2j$n=2j$ y f(n)=f(2j)=f(j)$f(n)=f(2j)=f(j)$ por la propiedad del enuncidado. Por hipótesis de inducción, f(j)$f(j)$ es invertir las cifras de j$j$ en base 2$2$, pero, como n$n$ termina en 0$0$ en base 2$2$, es equivalente a invertir las cifras de n$n$.
• Si n=4j+1$n=4j+1$, entonces f(n)=f(4j+1)=2f(2j+1)−f(j)$f(n)=f(4j+1)=2f(2j+1)-f(j)$. Escribamos j=ak⋯a1a0$j=a_k\cdots a_1{a}_0$ en base 2$2$, con lo que n=ak⋯a1a001$n=a_k\cdots a_1{a}_{0}01$ y tenemos que probar que f(n)=10a0⋯ak$f(n)=10a_0\cdots a_k$. La hipótesis de inducción nos dice que f(j)=a0⋯ak$f(j)=a_0\cdots a_k$ y 2f(2j+1)=1a0⋯ak0$2f(2j+1)=1a_0\cdots a_{k}0$. Como las últimas cifras de 2f(2j+1)son$son$a_0\cdots a_k0=2f(j),esfácildarsecuentadeque$,esfácildarsecuentadeque$f(n)=2f(2j+1)-f(j)=10a_0\cdots a_k$ como queríamos probar.
• Si n=4k+3$n=4k+3$, entonces f(n)=3f(2j+1)−2f(j)$f(n)=3f(2j+1)-2f(j)$. Si escribimos j=ak⋯a1a0$j=a_k\cdots a_1{a}_0$ en base 2$2$, entonces se razona de forma análoga al punto anterior que n=ak⋯a1a011$n=a_k\cdots a_1{a}_{0}11$ y 3f(2j+1)−2f(j)=11a0⋯ak$3f(2j+1)-2f(j)=11a_0\cdots a_k$.

Queda por calcular el número de enteros positivos n≤1988$n\le 1988$ tales que f(n)=n$f(n)=n$, lo que equivale a encontrar los números n≤1988$n\le 1988$ que son capicúa en base 2$2$, es decir, que se escriben igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. En base 2$2$ tenemos que 1988$1988$ se escribe 11111000100$11111000100$, que tiene 11$11$ cifras. Con 1$1$ cifras hay 1$1$ palíndromo, con 2$2$ cifras también hay 1$1$ palíndromo (el 11$11$), con tres cifras hay 2$2$ palíndromos (el 101$101$ y el 111$111$) y, en general con 2k$2^k$ cifras hay 2k−2$2^{k-2}$ palíndromos, al igual que con 22k−1$2^{2k-1}$ cifras. Por tanto, hay 1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94$1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94$ palíndromos de a lo sumo 11$11$ cifras, pero sólo dos de ellos son mayores que 11111000100$11111000100$ (el 11111011111$11111011111$ y el 11111111111$11111111111$), luego el número buscado es 92$92$.

problema 2

Solución. Haciendo n=1$n=1$, tenemos que los tres números f(1)$f(1)$, f(f(1))$f(f(1))$ y f(f(f(1)))$f(f(f(1)))$ suman 3. Como son números mayores o igules que 1$1$, deducimos que los tres tienen que ser 1$1$ y, en particular, f(1)=1$f(1)=1$. Si existiera n0∈N$n_0\in \mathbb{N}$ tal que f(n0)=1$f(n_0)=1$, sustituyendo n=n0$n=n_0$ en la ecuación llegamos que n0=1$n_0=1$, luego 1 es el único valor que toma el valor 1$1$. Sustituyendo ahora n=2$n=2$ en la ecuación obtenemos que los números f(2)$f(2)$, f(f(2))$f(f(2))$ y f(f(f(2)))$f(f(f(2)))$ suman 6$6$, pero todos son mayores o iguales que 2$2$ por lo que hemos probado antes, luego han de ser iguales a 2$2$ y tenemos que f(2)=2$f(2)=2$. Repitiendo el proceso o haciendo inducción llegamos a que f(n)=n$f(n)=n$ para todo n$n$.

Nota. Otra forma de proceder es ver directamente que f$f$ es inyectiva: si f(m)=f(n)$f(m)=f(n)$, entonces f(m)+f(f(m))+f(f(f(m)))=f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))$f(m)+f(f(m))+f(f(f(m)))=f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))$ y, por tanto, m=n$m=n$.