Desigualdades

Lección 0. Introducción: igualdades, desigualdades y cuadrados

Las desigualdades son una herramienta fundamental para trabajar con números reales. Podemos pensar que una fórmula con una igualdad es algo mucho mejor que una fórmula con una desigualdad y, obviamente, esto es cierto. Sin embargo, muchas veces no podemos tener una igualdad y la razón puede ser porque la igualdad no sea cierta, o bien porque sea suficiente conocer una desigualdad, o incluso porque demostrar la igualdad es más difícil que demostrar una desigualdad y podemos apañarnos sin ella.

Los símbolos fundamentales que vamos a manejar son los siguientes:

=<>≤≥igualmenor quemayor quemenor o igual quemayor o igual que$$\begin{array}{cl}=& \text{igual}\\ <& \text{menor que}\\ >& \text{mayor que}\\ \le & \text{menor o igual que}\\ \ge & \text{mayor o igual que}\end{array}$$

No necesitan explicación pero una interpretación interesante es que, cuando representamos dos números en la recta real, uno es menor que otro si está a la izquierda de éste. Veamos algunas propiedades muy sencillas, válidas para cualesquiera números a,b,c∈R$a,b,c\in \mathbb{R}$:

• Si a≤b$a\le b$ y b≤a$b\le a$, entonces a=b$a=b$
• Si a≤b$a\le b$ y b≤c$b\le c$, entonces a≤c$a\le c$.
• Si no se cumple que a≤b$a\le b$, entonces a>b$a>b$.

Dejamos como ejercicio pensar qué ocurre si cambiamos los signos en las propiedades anteriores por otros distintos.

Desigualdades y operaciones

Recordemos ahora cómo se comportan las desigualdades frente a la suma y el producto de números reales, así como respecto de los opuestos e inversos. Son propiedades que se usan continuamente cuando se trabaja con desigualdades por lo que conviene enumerarlas.

• Dados a,b,c,d∈R$a,b,c,d\in \mathbb{R}$ tales que a≤b$a\le b$ y c≤d$c\le d$, entonces se cumple que a+c≤b+d$a+c\le b+d$y la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$ y c=d$c=d$.
• Sean a,b∈R$a,b\in \mathbb{R}$ y λ∈R$\lambda \in \mathbb{R}$ tales que a≤b$a\le b$.
  • Si λ≥0$\lambda \ge 0$, entonces λa≤λb$\lambda a\le \lambda b$.
  • Si λ≤0$\lambda \le 0$, entonces λa≥λb$\lambda a\ge \lambda b$.
  En cualquiera de los dos casos, la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$ ó λ=0$\lambda =0$.
• Sean a,b∈R$a,b\in \mathbb{R}$ distintos de cero.
  • Si a≥b>0$a\ge b>0$, entonces 0<1a≤1b$0<\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$.
  • Si a≤b<0$a\le b<0$, entonces 1b≤1a<0$\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}<0$.
  • Si a<0<b$a<0<b$, entonces 1a<0<1b$\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}$.
  En cualquiera de los dos casos, la igualdad se alcanza si, y sólo si, a=b$a=b$.

Por decirlo de otra forma: las sumas y los opuestos respetan las desigualdades mientras los productos y los inversos únicamente cuando los signos sean los adecuados. Algunos ejemplos que ilustran esta situación son los siguientes:

2<3 ⇒ 13<12,−5<−1⇒1<5⇒15<1,0≤x<y⇒0≤2x<2y$$2<3\Rightarrow \frac{1}{3}<\frac{1}{2},-5<-1\Rightarrow 1<5\Rightarrow \frac{1}{5}<1,0\le x<y\Rightarrow 0\le 2x<2y$$

Un caso especial de desigualdad es cuando el número cero está involucrado. Como todos sabemos, un número real a$a$ que cumple que a<0$a<0$ se dice que es negativo y, si cumple que a>0$a>0$, que es positivo. Pero el cero, ¿es positivo o negativo? Aquí diremos que el cero no es negativo ni positivo (ojo, esto es un convenio, un nombre). También se usarán las expresiones a$a$ es no negativo cuando queremos expresar que a≥0$a\ge 0$ y a$a$ es no positivo cuando a≤0$a\le 0$. Algunas propiedades son las siguientes:

• La suma de dos números positivo es positiva. La suma de dos números negativos es negativa. La suma de un número positivo y otro negativo puede ser positiva, negativa o cero.
• El producto de dos números positivos es positivo. El producto de dos números negativos es también positivo. El producto de un número positivo y otro negativo es negativo.
• El opuesto de un número intercambia positivos y negativos. El inverso de un número conserva positivos y negativos.

Desigualdades y cuadrados

Una consencuencia mucho más interesante y cuya utilidad puede despreciarse en un principio es que un número al cuadrado nunca es negativo.

olimpiada de matematica

Esta página ha nacido con el propósito de recoger de forma libre y gratuita material de preparación para olimpiadas de matemáticas destinado a alumnos de enseñanza secundaria. Encontrarás dicho material organizado por categorias con unidades teóricas, ejercicios resueltos y ejercicios propuestos de diferentes niveles.

La resolución de problema

La preparación para la resolución de problemas es un camino arduo y difícil, sobretodo al principio, pero la recompensa de encontrar la solución a un problema suple con creces el esfuerzo empleado. Como dijo el matemático Paul Halmos, 'el corazón de las matemáticas son sus propios problemas' y es que muchos de los avances más relevantes en profundas teorías matemáticas se deben a ideas que surgen de razonamientos sencillos. Por otro lado, 'todo problema resuelto se convierte en una idea que aplicar a los que están por resolver' según René Descartes. En otras palabras, resolver un problema no siempre consiste en tener una idea feliz pues es a la larga más útil relacionarlo con otros problemas que ya hayamos resuelto o con algún conocimiento previo.

Sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (en nuestro caso serán dos ecuaciones) y varias incógnitas (en nuestro caso dos) que aparecen en una o varias de las ecuaciones.

Una ecuación que tiene más de una incógnita nos informa de la relación que existe entre éstas. Por ejemplo, la ecuación x - y = 0 nos dice que x e y son el mismo número.

No podemos resolver una ecuación con dos incógnitas ya que una de ellas queda en función de la otra. Por ejemplo, si tenemos la ecuación x - 2y = 0 y aislamos x obtenemos que x = 2y. Es decir, que el valor de x es el doble que el de y. Pero continuamos sin saber los valores de x e y.

Para poder resolver un sistema de N incógnitas necesitamos tener N ecuaciones. En realidad, también necesitamos que las ecuaciones sean linealmente independientes, pero no tendremos en cuenta esta necesidad en este nivel.

En esta sección tenemos problemas cuya resolución requieren el planteamiento de sistemas de ecuaciones de dimensión 2 (dos ecuaciones y dos incógnitas). Si no recordamos cómo resolver los sistemas (igualación, reducción y sustitución), podemos visitar la sección SISTEMAS.

con mis compañeros

diferentes fotografias

para concurso

1) En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).

La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.

2) Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda) cuya diagonal mide 13 metros.

Calcular cuánto mide la base y la altura de dicho rectángulo.

3) En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las vip.

Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del establecimiento es de 160 personas.

4) Calcular el número de números positivos de 3 cifras (mayores que 99) tales que una de sus cifras es 0 y las otras dos cifras suman 7.

5) Hallar un número de dos cifras que cumple:

• La segunda cifra es el doble de la primera
• La suma de las cifras es 12.

Educacion Comercial

Fórmula del interés simple

El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I = C · i · t

¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% para que se convierta en 30.000€?

                           solución






   

Se prestan 45 000 € y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben 52 500 €. Calcular el tanto por ciento de interés.

                          solución 

360 + 120 + 20 = 500 días

I = 52 500 − 45 000 = 7 500 €

Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado.

                    solución

I = C

¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%?

                    solución 

Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de 30 000 €, al 6%.

                          solucion

 

Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de 10.000 €, al 3.5%.

                          solucion