Completar el
cuadrado
"Completar el cuadrado" es
cuando...
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y la ponemos en esta forma:
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ax2 + bx + c = 0
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a(x+d)2 + e = 0
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Para los que tengáis prisa, os puedo decir ya
que:
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, y:
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Pero si tienes tiempo, deja que te explique cómo llegar allá.
La pista
Primero
tengo que enseñarte lo que pasa cuando desarrollas (x+d)2
(x+d)2 = (x+d)(x+d) = x(x+d) + d(x+d) = x2 +
2dx + d2
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Así que
si podemos poner la ecuación en la forma:
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x2 + 2dx + d2
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Entonces
podemos escribirla inmediatamente como:
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(x+d)2
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Que
está bastante cerca de lo que queremos, el trabajo estaría casi hecho
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El caso más simple
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Vamos a
trabajar primero con:
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Suma
(b/2)2 a los dos lados:
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Ahora mira la "pista" de arriba y piensa en que 2d=b así que d=b/2 Sí, está en la forma x2 + 2dx + d2 donde d=b/2, así que lo volvemos a escribir |
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Completamos
el cuadrado:
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¿Ves?
No es difícil. Con truco pero no difícil.
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El completo
Ahora
vamos al caso completo:
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Empieza
con
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Divide
la ecuación entre a
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Pon c/a
en el otro lado
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Suma
(b/2a)2 a los dos lados
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¡Ajá! ¡Tenemos la forma x2 + 2dx + d2 que queríamos! (si "b/2a" es "d", claro) |
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"Completamos
el cuadrado"
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Ahora
lo traemos todo de vuelta...
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... a
la izquierda
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... y
con el coeficiente correcto de x2
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Fíjate en que tenemos:
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a(x+d)2 + e = 0
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Donde:
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Ejemplo
Vamos
a probar con un ejemplo de verdad:
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Empieza
con
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3x2 - 4x - 5 = 0
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Divide
la ecuación entre a
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Pon c/a
en el otro lado
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Suma
(b/2a)2 en los dos lados
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... ahora la podemos transformar...
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"Completamos
el cuadrado"
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Podemos
simplificar las fracciones
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Ahora
lo traemos todo de vuelta...
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... a
la izquierda
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... y
con el mismo coeficiente de x2
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Pero
pasa algo interesante... el vértice (el punto más alto o más bajo de la
curva) está en(2/3, -19/3) ... ¡y esos números aparecen en la ecuación!
Otra cosa es que ahora podemos resolver la ecuación a mano:
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¿Para qué "completar el cuadrado"?
¿Para
qué querrías completar el cuadrado cuando basta usar la fórmula cuadrática para
resolver una eciación cuadrática?
Bueno,
la respuesta está arriba en parte, donde la forma nueva te da el vértice, y
también hace la ecuación fácil de resolver.
A
veces la forma "ax2 +
bx + c" puede ser parte de un problema más
grande y escribirla como "a(x+d)2+ e" hace más fácil llegar a la solución, porque
la "x" sólo aparece una vez.
Por
ejemplo es difícil integrar 1/(3x2 -
4x - 6) pero 1/(3(x - 4/6)2 -
22/3) es más fácil.
O
"x" puede ser una función (como cos(z)) y de nuevo reescribir puede abrirte un camino
mejor a la solución.
Es
sólo otra herramienta en tu caja de herramientas matemáticas.
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